שטח: משפט פיתגורס

השטח של צורה מוגדר על ידי מספר ריבועי היחידה בגודל 1 על 1 שנכנסים בתוכה. לדוגמה, אם מלבן ניתן לחלוקה מדויקת ל-30 ריבועים של 1 על 1, השטח שלו הוא 30.

השטח של מלבן מחושב כרוחב × גובה (A = w × h). ריבוע הוא מקרה פרטי של מלבן שבו כל הצלעות שוות (w = h = s). לכן, השטח של ריבוע הוא צלע × צלע, או צלע בריבוע (A = s²).

שטח של משולש ישר זווית מחושב כמחצית מכפלת הניצבים שלו (A = ab / 2). זאת משום שמשולש ישר זווית מהווה בדיוק חצי ממלבן בעל רוחב וגובה זהים.

שטח של משולש כללי מחושב כמחצית המכפלה של הבסיס בגובה (A = (1/2) × b × h או A = bh/2), כאשר הגובה הוא המרחק האנכי מהבסיס לקודקוד הנגדי.

שטח של מעגל מחושב כ-π כפול הרדיוס בריבוע (A = πr²). מכיוון ש-π הוא מספר אי-רציונלי, שטח המעגל עבור רדיוס רציונלי יהיה תמיד מספר אי-רציונלי.

משפט פיתגורס קובע כי במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (a² + b² = c²). משתמשים בו כדי למצוא אורך צלע חסרה כאשר שתי הצלעות האחרות ידועות.

עבור ריבוע החסום במעגל, יחס השטח בין הריבוע למעגל הוא תמיד בדיוק 2/π ≈ 0.637. עבור מעגל החסום בריבוע, יחס השטח בין המעגל לריבוע הוא תמיד בדיוק π/4 ≈ 0.785. יחסים אלו קבועים ללא קשר לגודל הפיזי של הצורות.

כן, אם אורכי הצלעות הם מספרים אי-רציונליים (כמו √2), השטח שיתקבל יכול להיות רציונלי או אי-רציונלי. תוכל ללמוד עוד על סיווגים אלה בנושא קבוצות מספרים - ממשיים ומורכבים.

שלושת הסוגים העיקריים הם: משולש שווה שוקיים (שתי שוקיים שוות ושתי זוויות בסיס שוות), משולש שווה צלעות (כל הצלעות והזוויות שוות — כל זווית היא 60°), ומשולש 30-60-90 (יחסי צלעות קבועים של 1 : √3 : 2).

מכיוון שהשטח הוא דו-ממדי (אורך × אורך), גורם ההמרה חייב להיות מוחל פעמיים. מאחר ש-1 ס"מ = 10 מ"מ, מקבלים 1 ס"מ² = 10 מ"מ × 10 מ"מ = 100 מ"מ². בכלל: אם יחידה אחת = k יחידות משנה, אז יחידה² אחת = k² יחידות משנה².