פונקציות: פונקציה עולה ופונקציה יורדת

Q: מדוע שיעור ה-$x$ תמיד מופיע ראשון בזוג סדור?

על פי מוסכמה מתמטית בינלאומית, קואורדינטות נכתבות תמיד בסדר אלפביתי כ-$(x, y)$. סדר קבוע זה מבטיח שכל אדם ברחבי העולם יוכל לתקשר, לקרוא ולסמן נקודות במערכת צירים באופן אחיד וללא בלבול.

Q: כיצד ניתן לקבוע אם פונקציה עולה או יורדת מתוך הנוסחה שלה?

עבור פונקציה קווית $f(x) = mx + b$, הפונקציה עולה אם השיפוע $m > 0$ ויורדת אם $m 0$, הפרבולה נפתחת כלפי מעלה (מינימום), ולכן הפונקציה יורדת עבור $x h$.

Q: מדוע לא ניתן להשתמש בערכי y כדי להגדיר תחומי עלייה וירידה?

אף על פי שאנו מסתכלים על השינוי האנכי בגובה (ערכי ה-y) כדי לזהות אם הגרף עולה או יורד, התחומים עצמם חייבים להגדיר *איפה* זה קורה על פני הציר האופקי. לפי המוסכמה המתמטית, תחומי עלייה וירידה מחלקים את תחום ההגדרה של הפונקציה, המיוצג על ידי ציר ה-$x$.

למדו כיצד לזהות תחומי עלייה וירידה של פונקציה מתוך גרף או ביטוי, להגדיר תחומים באמצעות אי-שוויונות ולהבין את ההגדרה הפורמלית של מונוטוניות.

✔️נפתרו: 0

מדריך למידה: מערכת צירים

מדריך למידה: פונקציה עולה ופונקציה יורדת

פונקציה מתוארת כעולה, יורדת או קבועה בהתאם להתנהגות ערכי הפלט שלה (

y

) כאשר ערכי הקלט (

x

) מתקדמים משמאל לימין (ככל ש-

x

גדל).

פונקציה עולה ופונקציה יורדת: פונקציה נקראת פונקציה עולה (או יורדת) אם היא עולה (או יורדת) לאורך כל תחום ההגדרה שלה. לדוגמה, הפונקציה הקווית $f(x) = 3x + 1$ היא פונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.

פונקציה עולה (

f(x_2) > f(x_1)

)

פונקציה יורדת (

f(x_2) < f(x_1)

)

תחומי עלייה וירידה: פונקציות רבות עולות בתחומים מסוימים ויורדות בתחומים אחרים (לדוגמה, פרבולה). עבור פונקציות אלו, אנו מגדירים תחומי עלייה וירידה (חלקים מתוך תחום ההגדרה) שבהם הפונקציה עולה או יורדת.

תחומי עלייה וירידה: יורדת עבור

x < 0

, עולה עבור

x > 0

הגדרות פורמליות

יהיו

x_1

ו-

x_2

שני ערכי קלט כלשהם בתחום ההגדרה או בקטע של פונקציה:

עולה: מתקיים $f(x_1) < f(x_2)$ לכל $x_1 < x_2$ בתחום הנדון. במילים פשוטות, כאשר נעים לאורך הגרף משמאל לימין, הגרף עולה.
יורדת: מתקיים $f(x_1) > f(x_2)$ לכל $x_1 < x_2$ בתחום הנדון. במילים פשוטות, כאשר נעים לאורך הגרף משמאל לימין, הגרף יורד.
קבועה: הפונקציה קבועה אם לכל זוג ערכי קלט בתחום הנדון מתקיים $f(x_1) = f(x_2)$ (קו אופקי ישר).

הגדרה עבור פונקציה עולה או יורדת (לאורך כל תחום ההגדרה):

פונקציות עולות ויורדות

פונקציה

f

היא:
• עולה אם לכל

x_1 < x_2

בתחום ההגדרה שלה מתקיים

f(x_1) < f(x_2)

(עולה תמיד משמאל לימין).
• יורדת אם לכל

x_1 < x_2

בתחום ההגדרה שלה מתקיים

f(x_1) > f(x_2)

(יורדת תמיד משמאל לימין).

הגדרה עבור תחומי עלייה וירידה (בתחומים מסוימים):

תחומי עלייה וירידה

פונקציה עולה או יורדת בתחום מסוים

I

אם היחס מתקיים לכל ערכי הקלט ב-

I

:
• עולה ב- $I$ :

f(x_1) < f(x_2)

לכל

x_1 < x_2

ב-

I

.
• יורדת ב- $I$ :

f(x_1) > f(x_2)

לכל

x_1 < x_2

ב-

I

הטעות הנפוצה: תחום הגדרה לעומת טווח ערכים

הטעות הנפוצה: כאשר תלמידים מחפשים תחומי עלייה וירידה מתוך גרף, הם נוטים להתמקד בציר האנכי (ערכי ה-y) מכיוון שהם רואים את הגרף עולה או יורד בגובה. דבר זה מוביל לכתיבה שגויה של טווח ערכים כמו

y > 2

.

הכלל: תחומי עלייה וירידה חייבים להיקבע תמיד על פי הציר האופקי (ערכי ה-x). הגובה האנכי מציין מה קורה לפונקציה (האם היא עולה או יורדת), אך ערכי ה-

x

מציינים איפה זה קורה. לדוגמה, אם פונקציה עולה מימין לנקודה שבה

x = 5

, התחום הנכון הוא

x > 5

, ולא

y > 2

כיצד לכתוב תחומי עלייה וירידה

בדומה למה שעשינו בהגדרת תחומי הגדרה, אנו משתמשים בסימוני אי-שוויון כדי להגדיר את תחומי הגרף השונים:

מימין לגבול $a$ : אם ההתנהגות מתרחשת עבור כל ערכי הקלט הגדולים מ- $a$ , נכתוב:
$x > a$
לדוגמה, אם פונקציה עולה מימין ל- $x = 5$ , תחום העלייה שלה הוא $x > 5$ .
משמאל לגבול $a$ : אם ההתנהגות מתרחשת עבור כל ערכי הקלט הקטנים מ- $a$ , נכתוב:
$x < a$
לדוגמה, אם פונקציה יורדת משמאל ל- $x = -2$ , תחום הירידה שלה הוא $x < -2$ .
בין שני גבולות $a$ ו- $b$ : אם הפונקציה עולה או יורדת בין שני ערכים $a$ ו- $b$ , נכתוב:
$a < x < b$

ניתוח עקומות בצורת U ובצורת V

כאשר נתונות משוואות מהצורה

f(x) = a(x - h)^2 + k

, הגרף שלהן יוצר עקומה מעוגלת בצורת U הנקראת פרבולה בעלת נקודת מפנה (קודקוד) בנקודה שבה

x = h

.

כדי למצוא היכן הפרבולה עולה או יורדת ללא גרף, נסתכל על המקדם

a

(המספר המכפיל שלפני הסוגריים):

פרבולה מחייכת ( $a > 0$ ): אם $a$ חיובי, הגרף נפתח כלפי מעלה ויוצר צורה של פנים מחייכות. נקודת המפנה היא הנקודה הנמוכה ביותר. הגרף יורד תחילה ואז עולה. לכן, הפונקציה יורדת עבור $x < h$ ועולה עבור $x > h$ .
פרבולה עצובה ( $a < 0$ ): אם $a$ שלילי, הגרף נפתח כלפי מטה ויוצר צורה של פנים עצובות. נקודת המפנה היא הנקודה הגבוהה ביותר. הגרף עולה תחילה ואז יורד. לכן, הפונקציה עולה עבור $x < h$ ויורדת עבור $x > h$ .

פרבולה מחייכת (

a > 0

)

פרבולה עצובה (

a < 0

)

באופן דומה, פונקציות המכילות ערך מוחלט כמו

f(x) = a|x - h| + k

מתנהגות בדיוק באותו אופן. סימני הערך המוחלט

|x - h|

מודדים את המרחק מהנקודה

h

, מה שיוצר צורת V ישרה במקום צורת U מעוגלת. המכפיל

a

קובע אם צורת ה-V הזו נפתחת כלפי מעלה (צורת V רגילה) או כלפי מטה (צורת V הפוכה):

נפתח כלפי מעלה ( $a > 0$ ): הגרף הוא צורת V רגילה המגיעה לנקודה הנמוכה ביותר שלה (קודקוד) ב- $x = h$ . הפונקציה יורדת תחילה ואז עולה (בדומה לפרבולה מחייכת).
נפתח כלפי מטה ( $a < 0$ ): הגרף הוא צורת V הפוכה המגיעה לנקודה הגבוהה ביותר שלה (קודקוד) ב- $x = h$ . הפונקציה עולה תחילה ואז יורדת (בדומה לפרבולה עצובה).

נפתח כלפי מעלה (

a > 0

)

נפתח כלפי מטה (

a < 0

)

נושאי לימוד

שאלות נפוצות

מדוע שיעור ה-$x$ תמיד מופיע ראשון בזוג סדור?

על פי מוסכמה מתמטית בינלאומית, קואורדינטות נכתבות תמיד בסדר אלפביתי כ-

(x, y)

. סדר קבוע זה מבטיח שכל אדם ברחבי העולם יוכל לתקשר, לקרוא ולסמן נקודות במערכת צירים באופן אחיד וללא בלבול.

כיצד ניתן לקבוע אם פונקציה עולה או יורדת מתוך הנוסחה שלה?

עבור פונקציה קווית

f(x) = mx + b

, הפונקציה עולה אם השיפוע

m > 0

ויורדת אם

m < 0

. עבור פונקציה ריבועית

f(x) = a(x-h)^2 + k

, נבדוק את סימן המקדם

a

: אם

a > 0

, הפרבולה נפתחת כלפי מעלה (מינימום), ולכן הפונקציה יורדת עבור

x < h

ועולה עבור

x > h

מדוע לא ניתן להשתמש בערכי y כדי להגדיר תחומי עלייה וירידה?

אף על פי שאנו מסתכלים על השינוי האנכי בגובה (ערכי ה-y) כדי לזהות אם הגרף עולה או יורד, התחומים עצמם חייבים להגדיר *איפה* זה קורה על פני הציר האופקי. לפי המוסכמה המתמטית, תחומי עלייה וירידה מחלקים את תחום ההגדרה של הפונקציה, המיוצג על ידי ציר ה-

x