משוואת הישר: שיפוע של ישר

Q: מהי הצורה המפורשת של משוואת הישר?

הצורה המפורשת היא $y = ax + b$, שבה **$a$** הוא השיפוע של הישר ו-**$b$** הוא החיתוך עם ציר ה-y (כאשר נקודת החיתוך עצמה היא $(0, b)$).

Q: כיצד מציגים את $y$ כפונקציה של $x$?

אם אנו מבודדים את $y$ במשוואת ישר לצורה $y = ax + b$, הערך של $y$ נקבע אך ורק לפי $x$. הדבר מאפשר לנו להשתמש בסימון פונקציה ולכתוב $y = f(x)$.

להבין את משמעות השיפוע באמצעות מדרגות, לחשב שיפוע בין שתי נקודות, ולמצוא את משוואת הישר.

נפתרו: 0

משוואת הישר (צורה מפורשת) וסימון פונקציה

השיפוע (המסומן באות $a$ במשוואה

y = ax + b

) מתאר את מידת התלילות והכיוון של הישר.

הדמיית מדרגות השיפוע

בכל צעד ימינה (+1), אנו עולים ב-1.5.

הבנת השיפוע כמדרגות

ניתן לחשוב על השיפוע כעל מדרגות על הגרף:
- בכל פעם שאנו נעים יחידה אחת ימינה (מגדילים את

x

ב-1), אנו עולים או יורדים ב- $a$ יחידות (השינוי ב-

y

).
- אם

a

חיובי (לדוגמה

a = 2

), אנו עולים בשתי יחידות עבור כל צעד ימינה.
- אם

a

שלילי (לדוגמה

a = -1

), יורדים יחידה אחת עבור כל צעד ימינה.

נוסחת השיפוע ודלתא ( $\Delta$ )

כדי למצוא את השיפוע בין שתי נקודות

(x_1, y_1)

ו-

(x_2, y_2)

, נשתמש בנוסחה:

שיפוע של ישר

a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

מחושב בעזרת שתי נקודות

(x_1, y_1)

ו-

(x_2, y_2)

שעל הישר.

מה זה דלתא ( $\Delta$ )?
האות היוונית $\Delta$ (דלתא) מייצגת שינוי או הפרש בין שני ערכים:
-

\Delta y = y_2 - y_1

הוא השינוי האנכי.
-

\Delta x = x_2 - x_1

הוא השינוי האופקי (המרחק שזזים ימינה).

יחס זה מוכר באנגלית בשם "Rise over Run", כלומר השינוי האנכי חלקי השינוי האופקי (

\frac{\Delta y}{\Delta x}

).

⚠️ הערה קריטית לגבי סדר הנקודות:
אין זה משנה איזו נקודה תבחרו להיות הנקודה הראשונה

(x_1, y_1)

ואיזו השנייה

(x_2, y_2)

— השיפוע שיתקבל יהיה זהה לחלוטין. עם זאת, חובה לשמור על אותו סדר חיסור גם במונה וגם במכנה! אם בחרתם לחסר את ערכי ה-y בסדר

y_2 - y_1

, עליכם לחסר את ערכי ה-x בסדר

x_2 - x_1

. ערבוב של הסדר (כמו

\frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}

) הוא שגוי ויוביל לקבלת סימן הפוך.

חשבו שיפוע בין שתי נקודות

חישוב השיפוע:

a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2

מציאת החיתוך עם ציר ה-y ( $b$ ) ומשוואת הישר המלאה

ברגע שיש לנו את השיפוע

a

, נוכל למצוא את החיתוך עם ציר ה-y (

b

) ולכתוב את משוואת הישר המלאה בעזרת נקודה כלשהי

(x_1, y_1)

הנמצאת על הישר. מכיוון שהנקודה נמצאת על הישר, שיעוריה חייבים לקיים את המשוואה

y = ax + b

.

דוגמה:
נניח שאנו יודעים שהשיפוע הוא

a = 3

, והישר עובר דרך הנקודה

(2, 7)

נתחיל מצורת המשוואה: $y = ax + b$
כיוון ש- $a = 3$ , נקבל: $y = 3x + b$
נציב את הנקודה $(x_1, y_1) = (2, 7)$ (כאשר $x_1 = 2$ ו- $y_1 = 7$ ):
$y_1 = 3x_1 + b \implies 7 = 3 \cdot 2 + b$
נפתור עבור $b$ :
$7 = 6 + b \implies b = 1$
משוואת הישר המלאה היא: $\boxed{y = 3x + 1}$

משוואת ישר מלאה משתי נקודות

אם נתונות לנו שתי נקודות בלבד, נוכל למצוא את משוואת הישר המלאה על ידי שילוב של שני השלבים:
1. נחשב את השיפוע

a

בעזרת נוסחת השיפוע.
2. נשתמש בשיפוע שמצאנו ובאחת הנקודות כדי למצוא את החיתוך עם ציר ה-y (

b

) (בדיוק כמו בדוגמה למעלה).

ישרים מקבילים

שני ישרים מקבילים אם הם נמצאים באותו מישור ואינם נחתכים לעולם, לא משנה כמה נמשיך אותם. מכיוון שהם תמיד שומרים על אותו מרחק זה מזה, הם חייבים לעלות או לרדת באותו קצב. זה אומר שחייב להיות להם אותו שיפוע בדיוק (

a_1 = a_2

), אך נקודות חיתוך שונות עם ציר ה-y (

b_1 \neq b_2

).

דוגמה:
- ישר 1:

y = 2x + 3

(שיפוע

a = 2

, חיתוך

b = 3

)
- ישר 2:

y = 2x - 5

(שיפוע

a = 2

, חיתוך

b = -5

)
לשני הישרים יש שיפוע של

2

, ולכן הם מקבילים. מכיוון שהם חוצים את ציר ה-y בגבהים שונים (

3

ו-

-5

), מדובר בשני ישרים נפרדים שלעולם לא ייפגשו.

הדמיית ישרים מקבילים

בחר שיפוע משותף (a):

חיתוך ישר כחול (b₁):

חיתוך ישר אדום (b₂):

y = 1.5x + 1

y = 1.5x - 2

תכונת הישרים המקבילים

הגרפים של שתי פונקציות קוויות מקבילים אם ורק אם יש להן אותו שיפוע:

a_1 = a_2

(וערכי חיתוך שונים עם ציר ה-y:

b_1 \neq b_2

הערה: "אם ורק אם" פירושו שהכלל עובד לשני הכיוונים: אם הישרים מקבילים, השיפועים שלהם חייבים להיות שווים; ואם השיפועים שלהם שווים, הישרים חייבים להיות מקבילים.

נושאי לימוד

שאלות נפוצות

מהי הצורה המפורשת של משוואת הישר?

הצורה המפורשת היא

y = ax + b

, שבה $a$ הוא השיפוע של הישר ו- $b$ הוא החיתוך עם ציר ה-y (כאשר נקודת החיתוך עצמה היא

(0, b)

כיצד מציגים את

y

כפונקציה של

x

אם אנו מבודדים את

y

במשוואת ישר לצורה

y = ax + b

, הערך של

y

נקבע אך ורק לפי

x

. הדבר מאפשר לנו להשתמש בסימון פונקציה ולכתוב

y = f(x)