מהי הסתברות תאורטית?

הסתברות תאורטית מחושבת על פי היחס בין מספר התוצאות הרצויות לבין סך כל התוצאות האפשריות במרחב המדגם: $P(A) = \frac{\text{רצויות}}{\text{סך הכול}}$.

כיצד מחשבים הסתברות של מאורע משלים?

על פי כלל המאורע המשלים: $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$, כאשר $\overline{A}$ מסמן את המאורע המשלים ("לא $A$"). מכיוון שמאורע בהכרח קורה או לא קורה ($P(A) + P(\overline{A}) = 1$), מחסירים מ-1 את ההסתברות לקיומו של המאורע.

כיצד מודל המאזניים ממחיש את הממוצע?

אם נניח כל נתון כמשקולת על גבי ציר המספרים, הממוצע הוא נקודת המשען המדויקת שבה סכום המרחקים משמאל שווה לסכום המרחקים מימין.

מהו חציון, וכיצד הוא מחושב עבור מספר נתונים אי-זוגי לעומת זוגי?

החציון הוא הערך האמצעי המדויק בקבוצת נתונים ממוינת. כאשר מספר הנתונים $n$ אי-זוגי, החציון הוא האיבר האמצעי היחיד במיקום $\frac{n+1}{2}$. כאשר $n$ זוגי, החציון הוא הממוצע החשבוני של שני האיברים האמצעיים במיקומים $\frac{n}{2}$ ו-$\frac{n}{2}+1$.

מה המשמעות של סימון האינדקס התחתון $x_k$ (כגון $x_{\frac{n+1}{2}}$ או $x_{n/2}$) בנוסחאות סטטיסטיקה?

בסטטיסטיקה, כאשר קבוצה של $n$ נתונים מסודרת בסדר עולה ($x_1 \le x_2 \le \dots \le x_n$), האינדקס התחתון $k$ מציין את מיקום האיבר בסדרה הממוינת (למשל, $x_1$ הוא האיבר הראשון והקטן ביותר, ו-$x_n$ הוא האיבר האחרון והגדול ביותר).

מהו השכיח, והאם ייתכן שלקבוצת נתונים יהיו כמה שכיחים או שלא יהיה שכיח כלל?

השכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים. אם לערך אחד יש את השכיחות הגבוהה ביותר, הוא שכיח יחיד. אם שני ערכים או יותר חולקים את השכיחות המרבית, הקבוצה היא דו-שכיחית או רב-שכיחית. אם כל הערכים מופיעים באותה שכיחות, אין שכיח בקבוצה.

כיצד מחשבים את הטווח, ובמיוחד כאשר קבוצת הנתונים כוללת מספרים שליליים?

הטווח מחושב על ידי חיסור הערך המינימלי מהערך המקסימלי: $\text{טווח} = \text{מקסימום} - \text{מינימום}$. כאשר המינימום שלילי, חיסור מספר שלילי הופך לחיבור: $\text{Max} - (-4) = \text{Max} + 4$ (לדוגמה, $9 - (-4) = 9 + 4 = 13$).

סטטיסטיקה והסתברות | כיתה ז׳ | SealMath

Q: מהו ממוצע חשבוני?

הממוצע החשבוני הוא מדד מרכזי המחושב על ידי סכימת כל הנתונים וחלוקתם במספר הנתונים הכולל: $\text{ממוצע} = \frac{\text{סכום כל הנתונים}}{\text{כמות הנתונים}}$.

מדריך למידה בסטטיסטיקה והסתברות

סקירה מקיפה של מושגי יסוד בסטטיסטיקה והסתברות: ייצוג נתונים, מדדי מרכז ופיזור (ממוצע, חציון, שכיח, טווח), מרחבי מדגם ומודלים תאורטיים.

נושאי תרגול

1. הסתברות של מאורע פשוט

חישוב הסתברות של מאורע פשוט P(A) = תוצאות רצויות חלקי תוצאות אפשריות בקובייה, מטבעות, שקיות כדורים, קלפים וספינרים.

2. ממוצע חשבוני

חישוב ממוצע חשבוני של קבוצות נתונים, פתרון אלגברי למציאת ערך חסר, וחישוב ממוצע מטבלאות שכיחות באמצעות מודל מאזניים אינטראקטיבי.

3. חציון

מציאת חציון בקבוצות נתונים באורך זוגי ואי-זוגי עם מודל מיון וסימון זוגות אינטראקטיבי, חישובים מפורטים של איברים מרכזיים והשפעת ערכי קיצון.

4. שכיח וטווח (פיזור ושכיחויות)

מצאו שכיח יחיד, מספר שכיחים או קבוצת נתונים שאין בה שכיח, וחשבו את טווח הנתונים עבור מספרים חיוביים ושליליים בעזרת דיאגרמת עמודות שכיחות וציר מספרים אינטראקטיבי.

5. מבחן

בדקו את שליטתכם בסטטיסטיקה ובהסתברות בכיתה ז׳ בכל 4 נושאי היסוד: הסתברות של מאורע פשוט, ממוצע חשבוני, חציון, ושכיח וטווח.

מדריך למידה

1. הסתברות של מאורע פשוט

1. הגדרה יסודית ונוסחת ההסתברות

הסתברות מודדת את מידת הסיכוי שמאורע יתרחש על פני ציר רציף שבין 0 (בלתי אפשרי) ל-1 (ודאי). לכל מאורע ‏

A

‏ מתקיים תמיד: ‏

0 \le P(A) \le 1

‏.

כאשר לכל התוצאות במרחב המדגם יש סיכוי שווה להתרחש, אנו מחשבים את ההסתברות התאורטית על ידי השוואת מספר התוצאות הרצויות שבהן המאורע מתקיים אל מול סך כל התוצאות האפשריות:

נוסחת ההסתברות התאורטית

P(A) = \frac{\text{‎מספר התוצאות הרצויות‎}}{\text{‎מספר כל התוצאות האפשריות‎}}

2. סרגל ההסתברות ודרגות הסבירות

ניתן למקם כל הסתברות על גבי סרגל מ-0 עד 1:

בלתי אפשרי (‏ $P = 0$ ‏ או ‏ $0\%$ ‏): המאורע לא יכול להתרחש לעולם (למשל קבלת 7 בקובייה).
לא סביר (‏ $0 < P < 0.5$ ‏): סיכוי נמוך מחצי (למשל קבלת 6 בקובייה, ‏ $P = \frac{1}{6} \approx 16.67\%$ ‏).
סיכוי שווה (‏ $P = 0.5$ ‏ או ‏ $50\%$ ‏): סיכוי של 50-50, בדיוק כמו הטלת מטבע הוגן (‏ $P = \frac{1}{2}$ ‏).
סביר (‏ $0.5 < P < 1$ ‏): סיכוי גבוה מחצי (למשל קבלת מספר גדול מ-2 בקובייה, ‏ $P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 66.67\%$ ‏).
ודאי (‏ $P = 1$ ‏ או ‏ $100\%$ ‏): המאורע יתרחש בוודאות מוחלטת.

3. מאורע משלים

המאורע המשלים של מאורע ‏

A

‏ (מסומן כ-‏

\overline{A}

‏, כלומר "לא ‏

A

‏") מייצג את אי-התרחשות המאורע. מכיוון שכל מאורע מתרחש או אינו מתרחש, סכום ההסתברויות שווה תמיד ל-1 (‏

P(A) + P(\overline{A}) = 1

‏). כדי לחשב את ההסתברות שהמאורע לא יתרחש, מחסירים מ-1 את ההסתברות לקיומו:

נוסחת המאורע המשלים

P(\overline{A}) = 1 - P(A)

\overline{A}

= לא

A

דוגמה: אם בשקית יש 3 כדורים אדומים מתוך 10 (‏

P(\text{אדום}) = \frac{3}{10}

‏), ההסתברות להוציא כדור שאינו אדום היא ‏

P(\text{לא אדום}) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}

‏.

4. חמשת מודלי ההסתברות המרכזיים

קובייה בעלת 6 פאות: מרחב המדגם כולל 6 תוצאות ‏ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ‏. ראשוניים: ‏ $\{2, 3, 5\}$ ‏, זוגיים: ‏ $\{2, 4, 6\}$ ‏.
הטלת מטבע: במטבע בודד יש 2 תוצאות (עץ, פלי). בשני מטבעות יש 4 תוצאות אפשריות.
שקית כדורים: סך כל הכדורים הוא מכנה השבר, ומספר הכדורים בצבע המבוקש הוא המונה.
חפיסת 52 קלפים: 4 סדרות (13 קלפים בכל סדרה). 26 אדומים, 26 שחורים, 12 קלפי תמונה.
ספינר (גלגל צבעים): גזרות שוות מייצגות חלקים שווים; גזרות יחסיות מייצגות שטח יחסי מתוך השלם.

5. ייצוג הסתברות: שברים, עשרוניים ואחוזים

ניתן לייצג כל הסתברות ב-3 צורות מתמטיות שקולות:

שבר פשוט מצומצם: למשל ‏ $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ ‏
מספר עשרוני: חלוקת המונה במכנה: ‏ $1 \div 4 = 0.25$ ‏
אחוזים: כפל המספר העשרוני ב-100: ‏ $0.25 \times 100 = 25\%$ ‏

6. דוגמאות פתורות צעד אחר צעד

דוגמה 1: שקית כדורים (הסתברות פשוטה והמרת ייצוגים)

שאלה: בשקית יש 4 כדורים אדומים, 6 כחולים ו-10 ירוקים. מוציאים באקראי כדור אחד. מה ההסתברות להוציא כדור כחול? הציגו את התשובה כשבר מצומצם, מספר עשרוני ואחוז.

שלב 1: ספירת התוצאות האפשריות והרצויות

סך כל הכדורים בשקית = ‏ $4 + 6 + 10 = 20$ ‏
מספר התוצאות הרצויות (כדורים כחולים) = ‏ $6$ ‏

שלב 2: הצבה בנוסחת ההסתברות וצמצום
$P(\text{כחול}) = \frac{\text{רצויות}}{\text{סך הכול}} = \frac{6}{20}$

נצמצם ב-2:
$P(\text{כחול}) = \frac{3}{10}$

שלב 3: המרה לעשרוני ולאחוזים
עשרוני: ‏ $3 \div 10 = 0.3$ ‏
אחוזים: ‏ $0.3 \times 100 = 30\%$ ‏ (מאורע לא סביר / סיכוי נמוך מחצי)

דוגמה 2: קוביית משחק (שימוש בכלל המאורע המשלים)

שאלה: מטילים קוביית משחק הוגנת בעלת 6 פאות. מה ההסתברות לקבל תוצאה שאינה מספר ראשוני?

שלב 1: זיהוי תוצאות מרחב המדגם
מרחב המדגם הוא ‏

S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

‏ (סך הכל 6 תוצאות). המספרים הראשוניים הם ‏

\{2, 3, 5\}

‏ (3 תוצאות).

שלב 2: חישוב הסתברות המאורע

P(\text{ראשוני}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50\%

שלב 3: הפעלת נוסחת המאורע המשלים

P(\text{לא ראשוני}) = 1 - P(\text{ראשוני}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 50\%

(בדיקה: התוצאות שאינן ראשוניות הן ‏ $\{1, 4, 6\}$ ‏, כלומר ‏ $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ‏.)

דוגמה 3: חפיסת 52 קלפים (קלפי תמונה או אס)

שאלה: שולפים קלף בודד באקראי מחפיסת 52 קלפים. מה ההסתברות לשלוף קלף תמונה (נסיך, מלכה, מלך) או אס?

שלב 1: ספירת הקלפים הרצויים

4 נסיכים + 4 מלכות + 4 מלכים = 12 קלפי תמונה
4 אסים
סך כל הקלפים הרצויים = ‏ $12 + 4 = 16$ ‏

שלב 2: חישוב ההסתברות וצמצום

P(\text{תמונה או אס}) = \frac{16}{52}

נצמצם ב-4:

P(\text{תמונה או אס}) = \frac{4}{13} \approx 0.31 = 30.77\%

2. ממוצע חשבוני

1. מהו ממוצע חשבוני?

הממוצע החשבוני (או בקיצור ממוצע) מייצג את נקודת המרכז והאיזון של קבוצת נתונים. מחשבים אותו על ידי חיבור כל הנתונים יחד וחלוקת הסכום במספר הנתונים:

נוסחת הממוצע החשבוני

\text{‎ממוצע‎} = \frac{\text{‎סכום כל הערכים‎}}{\text{‎מספר הערכים‎}}

2. מודל המאזניים הפיזיקלי

תארו לעצמכם את הנתונים כמשקולות המונחות על גבי לוח מאזניים (נדנדה). הממוצע הוא בדיוק מיקום נקודת המשען (הציר) שבה הלוח מאוזן לחלוטין! סכום המרחקים של הנתונים משמאל לממוצע שווה בדיוק לסכום המרחקים מימין.

מומנט שמאלי: 6.0⚖️ מאוזן! סכום המרחקים משמאל שווה לסכום המרחקים מימיןמומנט ימני: 6.0

🚗
מודל "המהירות הקבועה והקצב האחיד"

התרחיש: מכונית נוסעת במשך 4 שעות במהירויות משתנות: ‏

40\text{ קמ"ש}

‏, ‏

60\text{ קמ"ש}

‏, ‏

80\text{ קמ"ש}

‏ ו-‏

100\text{ קמ"ש}

‏, ועוברת מרחק כולל של ‏

280\text{ ק"מ}

‏.

האינטואיציה: המהירות הממוצעת (‏

70\text{ קמ"ש}

‏) היא המהירות הקבועה והאחידה היחידה שהרכב יכול היה לנסוע בה לאורך כל 4 השעות כדי לעבור בדיוק את אותו המרחק (‏

4 \times 70 = 280\text{ ק"מ}

‏) ולהגיע בדיוק באותו הזמן.

3. חישוב ממוצע צעד אחר צעד

כדי לחשב ממוצע של קבוצת מספרים:
1. מחברים את כל המספרים לקבלת הסכום הכולל.
2. סופרים כמה מספרים ישנם.
3. מחלקים את הסכום בכמות המספרים: ‏

\text{ממוצע} = \frac{\text{סכום כל המספרים}}{\text{כמות המספרים}}

‏.

4. מציאת ערך חסר באמצעות משוואה

כאשר ידועים מספר ציונים או ערכים, ומעוניינים למצוא ציון חסר ‏

x

‏ כדי להגיע לממוצע יעד מבוקש, פועלים בשיטת "העבודה לאחור" באמצעות אלגברה:

1. הכמות הכוללת גדלה ב-1: אנו יודעים את כמות הציונים הקיימת, ועם הוספת הציון החדש (‏

x

‏) כמות הנתונים הכוללת גדלה ב-1: ‏

\text{כמות כוללת} = \text{כמות קיימת} + 1

‏.
2. עקרון הסכום הכולל: כופלים את כמות הנתונים הכוללת החדשה בממוצע היעד לקבלת סך הנקודות הדרוש:

נוסחת הסכום הכולל

\text{‎סכום כולל‎} = \text{‎כמות כוללת‎} \times \text{‎ממוצע‎}

3. חיבור הערכים הידועים: מחברים את כל הציונים שכבר ניתנו לקבלת הסכום הנוכחי.
4. בידוד הציון החסר (‏ $x$ ‏): מחסרים את הסכום הידוע מהסכום הכולל הנדרש לקבלת הציון החסר ‏

x

‏:

נוסחת ערך חסר בממוצע

\begin{aligned} x &= \text{‎סכום כולל‎} - \text{‎סכום ידוע‎} \\ &= \text{‎כמות כוללת‎} \times \text{‎ממוצע מבוקש‎} - \text{‎סכום ידוע‎} \end{aligned}

5. חישוב ממוצע מתוך טבלת שכיחויות

כאשר הנתונים מאורגנים בטבלת שכיחויות, כל ערך (ציון) מופיע מספר פעמים (לפי השכיחות / הכמות שלו). שלבי החישוב:

1. כופלים כל ערך בשכיחות שלו: ‏

\text{ערך} \times \text{שכיחות}

‏ כדי למצוא את הסכום החלקי עבור אותו ערך.
2. מחברים את כל המכפלות יחד כדי לקבל את הסכום הכולל של כל הנתונים.
3. מחברים את כל השכיחויות כדי למצוא את סך כל הנתונים.
4. מחלקים את הסכום הכולל בכמות הנתונים לקבלת הממוצע.

נוסחת ממוצע מטבלת שכיחויות

\text{‎ממוצע‎} = \frac{\text{‎סכום המכפלות (ערך‎} \times \text{‎שכיחות)‎}}{\text{‎כמות כוללת‎}} = \frac{\text{‎סכום כולל‎}}{\text{‎כמות כוללת‎}}

מספר = שכיחות (מספר הפעמים שכל ערך מופיע).
מספר כולל = מספר הנתונים הכולל.

ערך (‏ $x$ ‏)	שכיחות (‏ $f$ ‏)	מכפלה (‏ $x \times f$ ‏)
1	3	1 × 3 = 3
2	5	2 × 5 = 10
4	2	4 × 2 = 8
סך הכל	10	21

6. דוגמאות פתורות מהחיים האמיתיים

דוגמה 1: ממוצע טמפרטורות שבועי

הטמפרטורות שנמדדו במשך 5 ימים: ‏

18^\circ, 22^\circ, 19^\circ, 25^\circ, 21^\circ

‏.
סכום: ‏

18 + 22 + 19 + 25 + 21 = 105

‏.
מספר ימים: ‏

5

‏.
ממוצע: ‏

\text{ממוצע} = \frac{105}{5} = 21^\circ\text{C}

‏.

דוגמה 2: מציאת ציון מבחן חסר

תלמיד קיבל ציונים ‏

78, 85, 92

‏ בשלושה מבחנים. מה עליו לקבל במבחן הרביעי כדי להגיע לממוצע ‏

88

‏?
סכום נדרש: ‏

4 \times 88 = 352

‏.
סכום נוכחי: ‏

78 + 85 + 92 = 255

‏.
ציון נדרש: ‏

x = 352 - 255 = 97

‏.

דוגמה 3: ממוצע שערים במשחקי כדורגל

הבקעת שערים: שער 1 ב-3 משחקים (‏

1 \times 3 = 3

‏), 2 שערים ב-5 משחקים (‏

2 \times 5 = 10

‏), 4 שערים ב-2 משחקים (‏

4 \times 2 = 8

‏).
סך שערים: ‏

3 + 10 + 8 = 21

‏. סך משחקים: ‏

3 + 5 + 2 = 10

‏.
ממוצע שערים למשחק: ‏

\text{ממוצע} = \frac{21}{10} = 2.1

‏.

3. חציון

1. מהו חציון?

החציון הוא הערך הנמצא בדיוק במרכז קבוצת הנתונים כאשר כל המספרים מסודרים בסדר עולה מהקטן לגדול. החציון חוצה את הנתונים לשני חצאים שווים: לפחות 50% מהנתונים קטנים ממנו או שווים לו, ולפחות 50% מהנתונים גדולים ממנו או שווים לו.

סימון מתמטי (אינדקס תחתון): כאשר קבוצה של ‏

n

‏ נתונים מסודרת בסדר עולה (‏

x_1 \le x_2 \le x_3 \le \dots \le x_n

‏), הסימון ‏

x_k

‏ מייצג את המספר הנמצא במיקום ה-‏ $k$ ‏ ברשימה הממוינת (למשל, ‏

x_1

‏ הוא האיבר הראשון והקטן ביותר, ו-‏

x_n

‏ הוא האיבר האחרון והגדול ביותר).

הגדרת החציון

החציון הוא הערך האמצעי בקבוצת נתונים ממוינת, או הממוצע של שני הערכים האמצעיים כאשר מספר הנתונים זוגי.

2. שיטת סימון הזוגות מהקצוות

כדי לאתר את החציון באופן ויזואלי וברור, מסדרים את המספרים בסדר עולה ומסמנים זוגות של המספר הקטן ביותר והגדול ביותר שנותרו, מבחוץ פנימה, עד שמגיעים למרכז המדויק.

📊מודל מיון ומחיקת זוגות אינטראקטיבי

נתונים מקוריים (לא ממוינים):[19, 7, 14, 12, 16]

נתונים ממוינים (בסדר עולה):

#17

#212

#314

חציון

#416

#519

🎯 המרכז בודד! החציון הוא 14.

3. חציון לקבוצה בעלת מספר נתונים אי-זוגי (‏ $n$ ‏ אי-זוגי)

כאשר בקבוצת הנתונים ישנו מספר אי-זוגי של איברים (‏

n = 5, 7, 9, \dots

‏), ישנו איבר אמצעי יחיד. מיקומו בסדרה הממוינת מחושב באמצעות הנוסחה ‏

\text{מיקום} = \frac{n + 1}{2}

‏.

נוסחת החציון עבור מספר אי-זוגי של נתונים

\text{‎חציון (אי-זוגי n)‎} = x_{\frac{n+1}{2}}

n

הוא מספר הערכים בקבוצת הנתונים.

4. חציון לקבוצה בעלת מספר נתונים זוגי (‏ $n$ ‏ זוגי)

כאשר בקבוצת הנתונים ישנו מספר זוגי של איברים (‏

n = 6, 8, 10, \dots

‏), אין איבר אמצעי בודד אלא שני איברים החולקים את המרכז במיקומים ‏

\frac{n}{2}

‏ ו-‏

\frac{n}{2} + 1

‏. החציון הוא הממוצע החשבוני של שני איברים אלו.

נוסחת החציון עבור מספר זוגי של נתונים

\text{‎חציון (זוגי n)‎} = \frac{x_{n/2} + x_{(n/2)+1}}{2}

n

הוא מספר הערכים בקבוצת הנתונים.

5. חציון מול ממוצע (עמידות בפני ערכי קיצון)

למה אנחנו צריכים גם ממוצע וגם חציון? הממוצע רגיש ביותר לערכי קיצון חריגים (outliers), בעוד שהחציון הוא מדד עמיד (חסין). לדוגמה, אם אדם בשכונה מרוויח 10,000,000 דולר, ממוצע ההכנסה יזנק באופן משמעותי, בעוד שהחציון יישאר יציב וישקף את ההכנסה האופיינית של תושב.

6. דוגמאות פתורות מהחיים האמיתיים

דוגמה 1: קבוצה אי-זוגית (ציוני בוחן)

ציוני בוחן: ‏

14, 7, 19, 12, 16

‏ (‏

n=5

‏).
1. סידור בסדר עולה: ‏

7, 12, \mathbf{14}, 16, 19

‏.
2. מיקום אמצעי: ‏

\frac{5+1}{2} = 3

‏.
3. חציון: ‏

\mathbf{14}

‏.

דוגמה 2: קבוצה זוגית (זמני ריצה)

זמני ספרינט בשניות: ‏

12.4, 11.2, 13.0, 11.8, 14.2, 12.0

‏ (‏

n=6

‏).
1. מיון: ‏

11.2, 11.8, \mathbf{12.0}, \mathbf{12.4}, 13.0, 14.2

‏.
2. שני איברים אמצעיים: מקום 3 (‏

12.0

‏) ומקום 4 (‏

12.4

‏).
3. ממוצע: ‏

\text{חציון} = \frac{12.0 + 12.4}{2} = \mathbf{12.2\text{ שניות}}

‏.

דוגמה 3: השפעת ערך קיצון חריג

חיסכון שבועי: ‏

10, 15, 20, 25, 30

‏. חציון = ‏

20

‏, ממוצע = ‏

20

‏.
אם האדם האחרון חסך ‏

1,000

‏ במקום ‏

30

‏:

ממוצע חדש: ‏ $\frac{10+15+20+25+1000}{5} = 214$ ‏ (נסחף בגלל ערך הקיצון).
חציון חדש: עדיין ‏ $\mathbf{20}$ ‏ (ללא שינוי).

4. שכיח וטווח (פיזור ושכיחויות)

1. מהו השכיח (הערך הנפוץ ביותר)?

השכיח (Mode) הוא הערך או הערכים המופיעים במספר הפעמים הגדול ביותר בקבוצת הנתונים. בניגוד לממוצע ולחציון, ניתן למצוא שכיח גם עבור נתונים קטגוריאליים (למשל צבע אהוב) ולא רק עבור נתונים מספריים.

שכיח יחיד: ערך אחד מופיע בתדירות הגבוהה ביותר (למשל ‏ $\{3, 5, 5, 8\} \rightarrow \text{שכיח} = 5$ ‏).
דו-שכיחי / רב-שכיחי: שני ערכים או יותר חולקים את השכיחות המרבית (למשל ‏ $\{2, 2, 4, 7, 7\} \rightarrow \text{שכיחים} = 2, 7$ ‏).
אין שכיח: כאשר כל הערכים מופיעים באותה שכיחות (למשל ‏ $\{4, 6, 9, 12\} \rightarrow \text{אין שכיח}$ ‏).

הגדרת השכיח

השכיח הוא הערך (או הערכים) המופיע במספר הפעמים הגדול ביותר בקבוצת הנתונים. ייתכן שכיח יחיד, מספר שכיחים, או שאין שכיח כלל.

📊דיאגרמת עמודות שכיחות (המחשת השכיח)

עמודת שיא שכיחות (שכיח)

2. מהו טווח (מדד פיזור הנתונים)?

הטווח (Range) הוא מדד המבטא את מידת הפיזור והמרחק בין הנתונים. הטווח מחושב כהפרש פשוט בין הערך הגדול ביותר (מקסימום) לערך הקטן ביותר (מינימום). טווח רחב מעיד על פיזור רב של הנתונים, בעוד שטווח צר מעיד על כך שהנתונים מרוכזים וקרובים זה לזה.

נוסחת הטווח (פיזור נתונים)

\text{‎טווח‎} = \text{‎מקסימום‎} - \text{‎מינימום‎} = x_{\max} - x_{\min}

3. חישוב טווח כאשר ישנם מספרים שליליים

כאשר מחשבים טווח של טמפרטורות, עומקים או מאזנים כספיים הכוללים ערכים שליליים, חיסור של מספר שלילי הופך לפעולת חיבור של הערך המוחלט שלו:

\text{אם } \text{מקסימום} = 8 \text{ ו-}\text{מינימום} = -3 \implies \text{טווח} = 8 - (-3) = 8 + 3 = 11

📏פיזור הנתונים על גבי ציר מספרים (המחשת הטווח)

טווח = 5 - (-7) = 12

4. רגישות גבוהה לערכי קיצון חריגים

מכיוון שהטווח תלוי אך ורק בשני ערכי הקצה הקיצוניים ($x_{\max}$ ו-$x_{\min}$), ערך קיצון חריג בודד יגדיל את הטווח באופן משמעותי, גם אם כל שאר הנתונים צפופים וקרובים מאוד זה לזה.

5. דוגמאות פתורות מהחיים האמיתיים

דוגמה 1: ציוני בוחן כיתתי (שכיח וטווח)

ציונים: ‏

14, 18, 14, 20, 16, 14, 18

‏.
1. שכיחויות: ‏

14

‏ (3 פעמים), ‏

16

‏ (פעם אחת), ‏

18

‏ (פעמיים), ‏

20

‏ (פעם אחת).
2. שכיח: ‏

\mathbf{14}

‏ (מופיע הכי הרבה, 3 פעמים).
3. טווח: ‏

\text{מקסימום} - \text{מינימום} = 20 - 14 = \mathbf{6}

‏.

דוגמה 2: טמפרטורות חורף (טווח עם שליליים)

טמפרטורות יומיות ב-°C: ‏

-7, -2, 0, 3, -2, 5

‏.
1. שכיח: ‏

\mathbf{-2}

‏ (מופיע פעמיים).
2. מינימום: ‏

-7

‏, מקסימום: ‏

5

‏.
3. טווח: ‏

5 - (-7) = 5 + 7 = \mathbf{12^\circ\text{C}}

‏.

דוגמה 3: מציאת ערך קצה חסר

בקבוצת נתונים הערך הנמוך ביותר הוא ‏

15

‏ והטווח הוא ‏

28

‏. מצאו את הערך הגבוה ביותר.

\text{מקסימום} = \text{מינימום} + \text{טווח} = 15 + 28 = \mathbf{43}

נושאי לימוד

🎲 סטטיסטיקה והסתברות

מדריך למידה בסטטיסטיקה והסתברות

נושאי תרגול

1. הסתברות של מאורע פשוט

2. ממוצע חשבוני

3. חציון

4. שכיח וטווח (פיזור ושכיחויות)

5. מבחן

מדריך למידה

1. הסתברות של מאורע פשוט

1. הגדרה יסודית ונוסחת ההסתברות

נוסחת ההסתברות התאורטית

2. סרגל ההסתברות ודרגות הסבירות

3. מאורע משלים

נוסחת המאורע המשלים

4. חמשת מודלי ההסתברות המרכזיים

5. ייצוג הסתברות: שברים, עשרוניים ואחוזים

6. דוגמאות פתורות צעד אחר צעד

דוגמה 1: שקית כדורים (הסתברות פשוטה והמרת ייצוגים)

דוגמה 2: קוביית משחק (שימוש בכלל המאורע המשלים)

דוגמה 3: חפיסת 52 קלפים (קלפי תמונה או אס)

2. ממוצע חשבוני

1. מהו ממוצע חשבוני?

נוסחת הממוצע החשבוני

2. מודל המאזניים הפיזיקלי

🚗 מודל "המהירות הקבועה והקצב האחיד"

3. חישוב ממוצע צעד אחר צעד

4. מציאת ערך חסר באמצעות משוואה

נוסחת הסכום הכולל

נוסחת ערך חסר בממוצע

5. חישוב ממוצע מתוך טבלת שכיחויות

נוסחת ממוצע מטבלת שכיחויות

6. דוגמאות פתורות מהחיים האמיתיים

דוגמה 1: ממוצע טמפרטורות שבועי

דוגמה 2: מציאת ציון מבחן חסר

דוגמה 3: ממוצע שערים במשחקי כדורגל

3. חציון

1. מהו חציון?

הגדרת החציון

2. שיטת סימון הזוגות מהקצוות

3. חציון לקבוצה בעלת מספר נתונים אי-זוגי (‏nnn‏ אי-זוגי)

נוסחת החציון עבור מספר אי-זוגי של נתונים

4. חציון לקבוצה בעלת מספר נתונים זוגי (‏nnn‏ זוגי)

נוסחת החציון עבור מספר זוגי של נתונים

5. חציון מול ממוצע (עמידות בפני ערכי קיצון)

6. דוגמאות פתורות מהחיים האמיתיים

דוגמה 1: קבוצה אי-זוגית (ציוני בוחן)

דוגמה 2: קבוצה זוגית (זמני ריצה)

דוגמה 3: השפעת ערך קיצון חריג

4. שכיח וטווח (פיזור ושכיחויות)

1. מהו השכיח (הערך הנפוץ ביותר)?

הגדרת השכיח

2. מהו טווח (מדד פיזור הנתונים)?

נוסחת הטווח (פיזור נתונים)

3. חישוב טווח כאשר ישנם מספרים שליליים

4. רגישות גבוהה לערכי קיצון חריגים

5. דוגמאות פתורות מהחיים האמיתיים

דוגמה 1: ציוני בוחן כיתתי (שכיח וטווח)

דוגמה 2: טמפרטורות חורף (טווח עם שליליים)

דוגמה 3: מציאת ערך קצה חסר

🚗
מודל "המהירות הקבועה והקצב האחיד"

3. חציון לקבוצה בעלת מספר נתונים אי-זוגי (‏ $n$ ‏ אי-זוגי)

4. חציון לקבוצה בעלת מספר נתונים זוגי (‏ $n$ ‏ זוגי)