סטטיסטיקה והסתברות: חציון

החציון הוא הערך הנמצא בדיוק במרכז קבוצת הנתונים כאשר כל המספרים מסודרים בסדר עולה מהקטן לגדול. החציון חוצה את הנתונים לשני חצאים שווים: לפחות 50% מהנתונים קטנים ממנו או שווים לו, ולפחות 50% מהנתונים גדולים ממנו או שווים לו.

סימון מתמטי (אינדקס תחתון): כאשר קבוצה של ‏$n$‏ נתונים מסודרת בסדר עולה (‏$x_1 \le x_2 \le x_3 \le \dots \le x_n$‏), הסימון ‏$x_k$‏ מייצג את המספר הנמצא במיקום ה-‏$k$‏ ברשימה הממוינת (למשל, ‏$x_1$‏ הוא האיבר הראשון והקטן ביותר, ו-‏$x_n$‏ הוא האיבר האחרון והגדול ביותר).

כדי לאתר את החציון באופן ויזואלי וברור, מסדרים את המספרים בסדר עולה ומסמנים זוגות של המספר הקטן ביותר והגדול ביותר שנותרו, מבחוץ פנימה, עד שמגיעים למרכז המדויק.

כאשר בקבוצת הנתונים ישנו מספר אי-זוגי של איברים (‏$n = 5, 7, 9, \dots$‏), ישנו איבר אמצעי יחיד. מיקומו בסדרה הממוינת מחושב באמצעות הנוסחה ‏$\text{מיקום} = \frac{n + 1}{2}$‏.

כאשר בקבוצת הנתונים ישנו מספר זוגי של איברים (‏$n = 6, 8, 10, \dots$‏), אין איבר אמצעי בודד אלא שני איברים החולקים את המרכז במיקומים ‏$\frac{n}{2}$‏ ו-‏$\frac{n}{2} + 1$‏. החציון הוא הממוצע החשבוני של שני איברים אלו.

למה אנחנו צריכים גם ממוצע וגם חציון? הממוצע רגיש ביותר לערכי קיצון חריגים (outliers), בעוד שהחציון הוא מדד עמיד (חסין). לדוגמה, אם אדם בשכונה מרוויח 10,000,000 דולר, ממוצע ההכנסה יזנק באופן משמעותי, בעוד שהחציון יישאר יציב וישקף את ההכנסה האופיינית של תושב.