סטטיסטיקה והסתברות: הסתברות של מאורע פשוט

חישוב הסתברות של מאורע פשוט P(A) = תוצאות רצויות חלקי תוצאות אפשריות בקובייה, מטבעות, שקיות כדורים, קלפים וספינרים.

נפתרו: 0

הסתברות של מאורע פשוט

נושאי לימוד

📖 מדריך למידה - הסתברות של מאורע פשוט

1. הגדרה יסודית ונוסחת ההסתברות

הסתברות מודדת את מידת הסיכוי שמאורע יתרחש על פני ציר רציף שבין 0 (בלתי אפשרי) ל-1 (ודאי). לכל מאורע ‏AA‏ מתקיים תמיד: ‏0≤P(A)≤10 \le P(A) \le 1‏.

כאשר לכל התוצאות במרחב המדגם יש סיכוי שווה להתרחש, אנו מחשבים את ההסתברות התאורטית על ידי השוואת מספר התוצאות הרצויות שבהן המאורע מתקיים אל מול סך כל התוצאות האפשריות:

2. סרגל ההסתברות ודרגות הסבירות

ניתן למקם כל הסתברות על גבי סרגל מ-0 עד 1:
  • בלתי אפשרי (‏P=0P = 0‏ או ‏0%0\%‏): המאורע לא יכול להתרחש לעולם (למשל קבלת 7 בקובייה).
  • לא סביר (‏0<P<0.50 < P < 0.5‏): סיכוי נמוך מחצי (למשל קבלת 6 בקובייה, ‏P=16≈16.67%P = \frac{1}{6} \approx 16.67\%‏).
  • סיכוי שווה (‏P=0.5P = 0.5‏ או ‏50%50\%‏): סיכוי של 50-50, בדיוק כמו הטלת מטבע הוגן (‏P=12P = \frac{1}{2}‏).
  • סביר (‏0.5<P<10.5 < P < 1‏): סיכוי גבוה מחצי (למשל קבלת מספר גדול מ-2 בקובייה, ‏P=46=23≈66.67%P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 66.67\%‏).
  • ודאי (‏P=1P = 1‏ או ‏100%100\%‏): המאורע יתרחש בוודאות מוחלטת.
025%1/2 (50%)75%1 (100%)בלתי אפשרי (0)לא סבירסיכוי שווה (1/2)סבירודאי (1)

3. מאורע משלים

המאורע המשלים של מאורע ‏AA‏ (מסומן כ-‏A‾\overline{A}‏, כלומר "לא ‏AA‏") מייצג את אי-התרחשות המאורע. מכיוון שכל מאורע מתרחש או אינו מתרחש, סכום ההסתברויות שווה תמיד ל-1 (‏P(A)+P(A‾)=1P(A) + P(\overline{A}) = 1‏). כדי לחשב את ההסתברות שהמאורע לא יתרחש, מחסירים מ-1 את ההסתברות לקיומו:
דוגמה: אם בשקית יש 3 כדורים אדומים מתוך 10 (‏P(אדום)=310P(\text{אדום}) = \frac{3}{10}‏), ההסתברות להוציא כדור שאינו אדום היא ‏P(לא אדום)=1−310=710P(\text{לא אדום}) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}‏.

4. חמשת מודלי ההסתברות המרכזיים

  • קובייה בעלת 6 פאות: מרחב המדגם כולל 6 תוצאות ‏{1,2,3,4,5,6}\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}‏. ראשוניים: ‏{2,3,5}\{2, 3, 5\}‏, זוגיים: ‏{2,4,6}\{2, 4, 6\}‏.
  • הטלת מטבע: במטבע בודד יש 2 תוצאות (עץ, פלי). בשני מטבעות יש 4 תוצאות אפשריות.
  • שקית כדורים: סך כל הכדורים הוא מכנה השבר, ומספר הכדורים בצבע המבוקש הוא המונה.
  • חפיסת 52 קלפים: 4 סדרות (13 קלפים בכל סדרה). 26 אדומים, 26 שחורים, 12 קלפי תמונה.
  • ספינר (גלגל צבעים): גזרות שוות מייצגות חלקים שווים; גזרות יחסיות מייצגות שטח יחסי מתוך השלם.

5. ייצוג הסתברות: שברים, עשרוניים ואחוזים

ניתן לייצג כל הסתברות ב-3 צורות מתמטיות שקולות:
  • שבר פשוט מצומצם: למשל ‏28=14\frac{2}{8} = \frac{1}{4}‏
  • מספר עשרוני: חלוקת המונה במכנה: ‏1÷4=0.251 \div 4 = 0.25‏
  • אחוזים: כפל המספר העשרוני ב-100: ‏0.25×100=25%0.25 \times 100 = 25\%‏

6. דוגמאות פתורות צעד אחר צעד

דוגמה 1: שקית כדורים (הסתברות פשוטה והמרת ייצוגים)
שאלה: בשקית יש 4 כדורים אדומים, 6 כחולים ו-10 ירוקים. מוציאים באקראי כדור אחד. מה ההסתברות להוציא כדור כחול? הציגו את התשובה כשבר מצומצם, מספר עשרוני ואחוז.

שלב 1: ספירת התוצאות האפשריות והרצויות
  • סך כל הכדורים בשקית = ‏4+6+10=204 + 6 + 10 = 20‏
  • מספר התוצאות הרצויות (כדורים כחולים) = ‏66‏

    שלב 2: הצבה בנוסחת ההסתברות וצמצום
    P(כחול)=רצויותסך הכול=620P(\text{כחול}) = \frac{\text{רצויות}}{\text{סך הכול}} = \frac{6}{20}

    נצמצם ב-2:
    P(כחול)=310P(\text{כחול}) = \frac{3}{10}

    שלב 3: המרה לעשרוני ולאחוזים
  • עשרוני: ‏3÷10=0.33 \div 10 = 0.3‏
  • אחוזים: ‏0.3×100=30%0.3 \times 100 = 30\%‏ (מאורע לא סביר / סיכוי נמוך מחצי)
דוגמה 2: קוביית משחק (שימוש בכלל המאורע המשלים)
שאלה: מטילים קוביית משחק הוגנת בעלת 6 פאות. מה ההסתברות לקבל תוצאה שאינה מספר ראשוני?

שלב 1: זיהוי תוצאות מרחב המדגם
מרחב המדגם הוא ‏S={1,2,3,4,5,6}S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}‏ (סך הכל 6 תוצאות). המספרים הראשוניים הם ‏{2,3,5}\{2, 3, 5\}‏ (3 תוצאות).

שלב 2: חישוב הסתברות המאורע
P(ראשוני)=36=12=50%P(\text{ראשוני}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50\%

שלב 3: הפעלת נוסחת המאורע המשלים
P(לא ראשוני)=1−P(ראשוני)=1−12=12=50%P(\text{לא ראשוני}) = 1 - P(\text{ראשוני}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 50\%

(בדיקה: התוצאות שאינן ראשוניות הן ‏{1,4,6}\{1, 4, 6\}‏, כלומר ‏36=12\frac{3}{6} = \frac{1}{2}‏.)
דוגמה 3: חפיסת 52 קלפים (קלפי תמונה או אס)
שאלה: שולפים קלף בודד באקראי מחפיסת 52 קלפים. מה ההסתברות לשלוף קלף תמונה (נסיך, מלכה, מלך) או אס?

שלב 1: ספירת הקלפים הרצויים
  • 4 נסיכים + 4 מלכות + 4 מלכים = 12 קלפי תמונה
  • 4 אסים
  • סך כל הקלפים הרצויים = ‏12+4=1612 + 4 = 16‏


שלב 2: חישוב ההסתברות וצמצום
P(תמונה או אס)=1652P(\text{תמונה או אס}) = \frac{16}{52}

נצמצם ב-4:
P(תמונה או אס)=413≈0.31=30.77%P(\text{תמונה או אס}) = \frac{4}{13} \approx 0.31 = 30.77\%
נושאי לימוד