Functies: Continuïteit van een functie

Begrijp het concept van continuïteit, verken continue en discontinue functies, en oefen met het vinden van punten van discontinuïteit.

✔️Opgelost: null

Studiehandleiding: het coördinatenstelsel

Studiehandleiding: Continuïteit van een functie

Een functie

f(x)

is continu als de grafiek één ononderbroken kromme is zonder gaten, sprongen of onderbrekingen. Intuïtief kun je een continue functie zien als een functie waarvan je de grafiek kunt tekenen zonder je pen van het papier te halen.

Continuïteit van een functie

Een functie

f(x)

is continu in een punt

x = a

als:
1.

f(a)

gedefinieerd is.
2. De grafiek nadert van beide kanten dezelfde y-waarde bij

a

.
3. De functiewaarde bij

a

overeenkomt met deze y-waarde (geen sprongen of gaten).

Continue en discontinue functies

1. Continue functies

Een functie is continu als de grafiek geen gaten, sprongen of onderbrekingen heeft. Intuïtief kun je de grafiek ervan zien als een grafiek die je kunt tekenen zonder je pen van het papier te halen.

Veelterm

Veeltermen: Functies zoals $f(x) = x^2 - 3$ of $f(x) = 2x + 1$ zijn overal continu.

Absolute waarde

Absolute waarde: $f(x) = |x - 2|$ is overal continu.

2. Discontinue functies

Een functie is discontinu als de grafiek onderbrekingen, sprongen of gaten heeft, of naar oneindig divergeert.

2.1 Sprongdiscontinuïteit

De functie springt op een bepaald punt van de ene y-waarde naar de andere. De linker- en rechterlimiet bestaan, maar zijn niet gelijk.

Sprongdiscontinuïteit

Belastingschijven: Een alledaags voorbeeld is het belastingtarief, dat springt (bijv. van 10% naar 20%) zodra het inkomen een bepaalde grens overschrijdt.

2.2 Ophefbare discontinuïteit (gat)

De functie is overal gedefinieerd en continu behalve op één enkel punt, waar een punt ontbreekt (gat).

Ophefbare discontinuïteit

Rationele gaten: $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ is niet gedefinieerd en heeft een gat bij $x = 2$ , hoewel het er overal elders uitziet als de lijn $y = x + 2$ .

2.3 Oneindige discontinuïteit (verticale asymptoot)

De functie nadert plus of min oneindig als deze een bepaalde waarde nadert, waardoor er een verticale splitsing in de grafiek ontstaat.

Oneindige discontinuïteit

Onbegrensde splitsing: In $f(x) = \frac{1}{x-3}$ , naarmate $x$ dichter bij 3 komt, zorgt de deling door een heel klein getal ervoor dat de functie naar $+\infty$ of $-\infty$ gaat (waarbij het symbool $\infty$ oneindig betekent — onbegrensd groeien). In de wiskunde wordt deze verticale grenslijn waar de grafiek oneindig dichtbij komt, maar nooit raakt, een verticale asymptoot genoemd.
Vanwege deze splitsing is de functie discontinu bij $x = 3$ .

Leeronderwerpen