Functies: Coördinatenstelsel

Leer over de twee assen van een rooster, de oorsprong en hoe je punten schrijft en tekent.

✔️Opgelost: null

Studiehandleiding: het coördinatenstelsel

De assen en de oorsprong

Het rooster is opgebouwd uit twee elkaar kruisende assen:
  • xx-as: De horizontale as. De waarden nemen toe naarmate je naar rechts beweegt (positieve richting) en nemen af naar links (negatieve richting).
  • yy-as: De verticale as. De waarden nemen toe naarmate je omhoog beweegt (positieve richting) en nemen af naar beneden (negatieve richting).
  • Kruispunt: De twee assen kruisen elkaar in een hoek van 90° (ze staan loodrecht op elkaar). Het punt waar ze elkaar snijden heet de oorsprong, aangeduid met de coördinaten (0,0)(0, 0).
IIIIIIIV−5−5−4−4−3−3−2−2−1−111223344550xyFiguur 1: Het coördinatenstelsel met de xx-as, yy-as, de oorsprong, de vier kwadranten en een getekend punt op (3, 2).

Punten schrijven als geordend paar

Elk punt in het coördinatenstelsel wordt weergegeven als een geordend paar geschreven in de vorm:
(x,y)(x, y)
  • Het eerste getal (xx) is de x-coördinaat. Het geeft aan hoeveel eenheden je horizontaal vanaf de oorsprong moet bewegen (naar rechts als het positief is, naar links als het negatief is).
  • Het tweede getal (yy) is de y-coördinaat. Het geeft aan hoeveel eenheden je verticaal vanaf de oorsprong moet bewegen (omhoog als het positief is, omlaag als het negatief is).

De vier kwadranten (gebieden)

De twee assen verdelen het coördinatenstelsel in vier gebieden die kwadranten worden genoemd, tegen de klok in genummerd vanaf rechtsboven:
  • Eerste Kwadrant (I): Het gebied rechtsboven. Zowel xx als yy zijn positief (x>0,y>0x > 0, y > 0). Voorbeeld: (2,3)(2, 3).
  • Tweede Kwadrant (II): Het gebied linksboven. xx is negatief en yy is positief (x<0,y>0x < 0, y > 0). Voorbeeld: (−4,1)(-4, 1).
  • Derde Kwadrant (III): Het gebied linksonder. Zowel xx als yy zijn negatief (x<0,y<0x < 0, y < 0). Voorbeeld: (−2,−3)(-2, -3).
  • Vierde Kwadrant (IV): Het gebied rechtsonder. xx is positief en yy is negatief (x>0,y<0x > 0, y < 0). Voorbeeld: (3,−5)(3, -5).


Opmerking: Punten die direct op de xx-as of yy-as liggen (zoals (0,4)(0, 4) of (−3,0)(-3, 0)) of in de oorsprong (0,0)(0, 0), liggen niet in een van de vier kwadranten.

Midden van een lijnstuk

Het midden MM van een lijnstuk dat de punten A(x1,y1)A(x_1, y_1) en B(x2,y2)B(x_2, y_2) verbindt, is het punt dat zich precies halverwege bevindt. De coördinaten van het midden worden gegeven door de onderstaande formule:
Wiskundige afleiding & voorbeeld:
Om te begrijpen hoe deze formule werkt, kunnen we het lijnstuk ABAB en het midden MM projecteren op de coördinaatassen. Dit verdeelt zowel het horizontale als het verticale interval in twee gelijke delen:

1. Horizontale projectie (xx-as):
Het horizontale interval loopt van x1x_1 tot x2x_2. Op onze grafiek is dit van x1=−3x_1 = -3 tot x2=5x_2 = 5 (een totale afstand van 88 eenheden). Het midden MM projecteert naar xM=1x_M = 1. Omdat de afstand van x1x_1 tot xMx_M gelijk moet zijn aan de afstand van xMx_M tot x2x_2:
xM−x1=x2−xMx_M - x_1 = x_2 - x_M

Gebruikmakend van de coördinaten uit onze grafiek:
1−(−3)=5−1=4 eenheden1 - (-3) = 5 - 1 = 4\text{ eenheden}

Algebraïsch oplossen voor xMx_M:
2xM=x1+x2  ⟹  xM=x1+x222x_M = x_1 + x_2 \implies x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}

Invullen van de waarden geeft:
xM=−3+52=22=1x_M = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1

2. Verticale projectie (yy-as):
Het verticale interval loopt van y1y_1 tot y2y_2. Op onze grafiek is dit van y1=−2y_1 = -2 tot y2=4y_2 = 4 (een totale afstand van 66 eenheden). Het midden MM projecteert naar yM=1y_M = 1. Gelijkstellen van de afstanden:
yM−y1=y2−yMy_M - y_1 = y_2 - y_M

Gebruikmakend van de coördinaten uit onze grafiek:
1−(−2)=4−1=3 eenheden1 - (-2) = 4 - 1 = 3\text{ eenheden}

Algebraïsch oplossen voor yMy_M:
2yM=y1+y2  ⟹  yM=y1+y222y_M = y_1 + y_2 \implies y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}

Invullen van de waarden geeft:
yM=−2+42=22=1y_M = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1

Door deze componenten te combineren, vinden we de exacte coördinaten van het midden: M(1,1)M(1, 1).
xy0A(-3, -2)B(5, 4)M(1, 1)x1 = -3xM = 1x2 = 5y1 = -2yM = 1y2 = 44433
De grafiek laat zien dat de projectie van het lijnstuk op de xx- en yy-as het interval tussen de coördinaten in twee gelijke delen verdeelt: xM−x1=x2−xMx_M - x_1 = x_2 - x_M en yM−y1=y2−yMy_M - y_1 = y_2 - y_M.

Afstand tussen twee punten

De afstand dd tussen twee punten A(x1,y1)A(x_1, y_1) en B(x2,y2)B(x_2, y_2) is de lengte van het rechte lijnstuk dat hen verbindt. De afstand wordt berekend met de onderstaande formule:
Relatie met de stelling van Pythagoras:
Door het lijnstuk ABAB op de assen te projecteren, construeren we een rechthoekige driehoek ACBACB met een horizontale zijde ACAC (lengte ∣x2−x1∣|x_2 - x_1|) en een verticale zijde CBCB (lengte ∣y2−y1∣|y_2 - y_1|).
Volgens de stelling van Pythagoras (a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2) geldt voor de schuine zijde dd:
d2=(x2−x1)2+(y2−y1)2  ⟹  d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \implies d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Bijvoorbeeld, met de punten A(−3,−2)A(-3, -2) en B(5,4)B(5, 4) op de grafiek:
- De horizontale afstand is x2−x1=5−(−3)=8x_2 - x_1 = 5 - (-3) = 8.
- De verticale afstand is y2−y1=4−(−2)=6y_2 - y_1 = 4 - (-2) = 6.
- Toepassing van de stelling:
d=82+62=64+36=100=10d = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10
xy0A(-3, -2)B(5, 4)C(5, -2)|x2 - x1| = 8|y2 - y1| = 6d = 10
De grafiek toont de rechthoekige driehoek ACBACB die gevormd is door het projecteren van het lijnstuk ABAB op de assen, wat laat zien hoe de afstandsformule rechtstreeks is afgeleid van de stelling van Pythagoras.
Leeronderwerpen
Coördinatenstelsel | SealMath