Reglas del producto y del cociente

Aprende y practica la regla del producto (am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}) y del cociente (aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}) con números y variables algebraicas.

Reglas del producto y del cociente

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Simplifica la expresión:

a7⋅a6a^{7} \cdot a^{6}
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Leyes Fundamentales de los Exponentes

Una potencia representa la multiplicación repetida de una base: an=a⋅a⋯a⏟n vecesa^n = \underbrace{a \cdot a \dotsm a}_{n \text{ veces}}. Cuando las bases son iguales, se aplican las siguientes reglas:

1. Regla del producto (Multiplicación de potencias con la misma base)

Al multiplicar potencias de la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes:
  • Ejemplo numérico: 23⋅24=23+4=272^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7
  • Ejemplo algebraico: x5⋅x3=x5+3=x8x^5 \cdot x^3 = x^{5+3} = x^8
Nota: Si una variable no tiene exponente escrito, su exponente es 1 (x=x1x = x^1, por lo que x4⋅x=x4+1=x5x^4 \cdot x = x^{4+1} = x^5).

2. Regla del cociente (División de potencias con la misma base)

Al dividir potencias de la misma base (a≠0a \neq 0), se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador (m≥nm \ge n):
  • Ejemplo numérico: 5853=58−3=55\frac{5^8}{5^3} = 5^{8-3} = 5^5
  • Ejemplo algebraico: y7y2=y7−2=y5\frac{y^7}{y^2} = y^{7-2} = y^5
  • Regla del exponente cero (x0=1x^0 = 1 para x≠0x \neq 0): Cualquier base distinta de cero elevada a la potencia 0 es igual a 1. Cuando los exponentes del numerador y denominador son iguales: xmxm=xm−m=x0=1\frac{x^m}{x^m} = x^{m-m} = x^0 = 1 (por ejemplo, x3x3=1\frac{x^3}{x^3} = 1).

3. Simplificación de monomios con coeficientes y varias variables

  • ¿Qué es un monomio? Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término: el producto de un coeficiente numérico por variables con exponentes enteros no negativos (ej. 3x43x^4, 18x7y318x^7y^3).
Al simplificar monomios con coeficientes y varias variables, trabaja cada parte por separado:
1. Multiplica o divide los coeficientes numéricos normalmente (3⋅5=153 \cdot 5 = 15, 186=3\frac{18}{6} = 3).
2. Aplica las leyes de los exponentes a las potencias con la misma base (xx con xx, yy con yy).
  • Multiplicación: 3x4⋅5x2=(3⋅5)⋅(x4⋅x2)=15x63x^4 \cdot 5x^2 = (3 \cdot 5) \cdot (x^4 \cdot x^2) = 15x^6
  • División: 18x7y36x2y=(186)⋅(x7x2)⋅(y3y)=3x5y2\frac{18x^7y^3}{6x^2y} = \left(\frac{18}{6}\right) \cdot \left(\frac{x^7}{x^2}\right) \cdot \left(\frac{y^3}{y}\right) = 3x^5y^2
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Preguntas Frecuentes

¿Por qué sumamos los exponentes al multiplicar con la misma base?
Porque el exponente indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma. Por ejemplo, x3=x⋅x⋅xx^3 = x \cdot x \cdot x y x2=x⋅xx^2 = x \cdot x. Multiplicarlos produce 5 factores de xx, es decir, x3+2=x5x^{3+2} = x^5.
¿Por qué no podemos sumar exponentes si las bases son diferentes?
La regla del producto solo aplica a bases idénticas (am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}). En 23⋅342^3 \cdot 3^4 o x3⋅y4x^3 \cdot y^4, las bases son distintas y no se pueden sumar.
¿Cuál es el exponente de una variable que no tiene un exponente escrito, como xx?
Una variable sin exponente escrito siempre tiene exponente 11 (x=x1x = x^1). Por eso, x4⋅x=x4⋅x1=x4+1=x5x^4 \cdot x = x^4 \cdot x^1 = x^{4+1} = x^5.