חוקי כפל וחילוק חזקות

למדו ותרגלו את חוק כפל החזקות (‏am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}‏) וחוק חילוק החזקות (‏aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}‏) עם מספרים ומשתנים אלגבריים.

חוקי כפל וחילוק חזקות

נפתרו: 0

פשטו את הביטוי הבא:

107104\frac{10^{7}}{10^{4}}
נושאי לימוד

📖 מדריך למידה

חוקי החזקות היסודיים

חזקה מייצגת כפל חוזר של הבסיס בעצמו: ‏an=a⋅a⋯a⏟n פעמיםa^n = \underbrace{a \cdot a \dotsm a}_{n \text{ פעמים}}‏. כאשר עוסקים בביטויים בעלי בסיסים זהים, משתמשים בכללים הבאים:

1. חוק כפל חזקות בעלות בסיסים שווים

בכפל של חזקות בעלות בסיסים שווים, שומרים על הבסיס ומחברים את המעריכים:
  • דוגמה מספרית: ‏23⋅24=23+4=272^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7‏
  • דוגמה אלגברית: ‏x5⋅x3=x5+3=x8x^5 \cdot x^3 = x^{5+3} = x^8‏
שימו לב: כאשר למשתנה אין מעריך רשום, מעריכו הוא 1 (‏x=x1x = x^1‏, לכן ‏x4⋅x=x4+1=x5x^4 \cdot x = x^{4+1} = x^5‏).

2. חוק חילוק חזקות בעלות בסיסים שווים

בחילוק של חזקות בעלות בסיסים שווים (‏a≠0a \neq 0‏), שומרים על הבסיס ומחסרים את המעריך שבמכנה מהמעריך שבמונה (‏m≥nm \ge n‏):
  • דוגמה מספרית: ‏5853=58−3=55\frac{5^8}{5^3} = 5^{8-3} = 5^5‏
  • דוגמה אלגברית: ‏y7y2=y7−2=y5\frac{y^7}{y^2} = y^{7-2} = y^5‏
  • חוק חזקת אפס (‏x0=1x^0 = 1‏ עבור ‏x≠0x \neq 0‏): כל בסיס השונה מאפס בחזקת ‏00‏ שווה ל-1. כאשר המעריכים במונה ובמכנה שווים: ‏xmxm=xm−m=x0=1\frac{x^m}{x^m} = x^{m-m} = x^0 = 1‏ (למשל: ‏x3x3=1\frac{x^3}{x^3} = 1‏).

3. פישוט מונומים עם מקדמים ומספר משתנים

  • מהו מונום (חד-איבר)? מונום הוא ביטוי אלגברי המורכב מאיבר יחיד: מכפלה של מקדם מספרי ומשתנה אחד או יותר בעלי מעריכים שלמים אי-שליליים (למשל: ‏3x43x^4‏, ‏18x7y318x^7y^3‏).
בפישוט ביטויים המכילים מקדמים מספריים ומספר משתנים, מטפלים בכל חלק בנפרד:
1. כופלים או מחלקים את המקדמים המספריים כרגיל (למשל: ‏3⋅5=153 \cdot 5 = 15‏, ‏186=3\frac{18}{6} = 3‏).
2. מפעילים את חוקי החזקות על בסיסים זהים (‏xx‏ עם ‏xx‏, ‏yy‏ עם ‏yy‏).
  • כפל: ‏3x4⋅5x2=(3⋅5)⋅(x4⋅x2)=15x63x^4 \cdot 5x^2 = (3 \cdot 5) \cdot (x^4 \cdot x^2) = 15x^6‏
  • חילוק: ‏18x7y36x2y=(186)⋅(x7x2)⋅(y3y)=3x5y2\frac{18x^7y^3}{6x^2y} = \left(\frac{18}{6}\right) \cdot \left(\frac{x^7}{x^2}\right) \cdot \left(\frac{y^3}{y}\right) = 3x^5y^2‏
נושאי לימוד

הגנו על הציוד שלכם עם SealBags! 🛡️

נרתיק ארגונית חסין מים (IP67) לאלקטרוניקה ולציוד נסיעות, מבית יוצא חיל הנחתים של ארה״ב (USMC). עשוי TPU עמיד עם רוכסן דוחה מים להגנה מוחלטת.

לקניית נרתיק SealBags באמזון#ad

כשותף של Amazon אני עשוי להרוויח עמלה מרכישות מתאימות.

שאלות נפוצות

מדוע מחברים מעריכים בכפל חזקות בעלות בסיס שווה?
המעריך מציין כמה פעמים הבסיס מוכפל בעצמו. למשל, ‏x3=x⋅x⋅xx^3 = x \cdot x \cdot x‏ ו-‏x2=x⋅xx^2 = x \cdot x‏. הכפלתם נותנת 5 גורמים של ‏xx‏, כלומר ‏3+2=53 + 2 = 5‏.
מדוע אי אפשר לחבר מעריכים כאשר הבסיסים שונים?
חוק כפל החזקות תקף אך ורק כאשר הבסיסים זהים (‏am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}‏). בביטוי כמו ‏23⋅342^3 \cdot 3^4‏ או ‏x3⋅y4x^3 \cdot y^4‏, הבסיסים שונים ולכן לא ניתן לחבר את המעריכים.
מהו המעריך של משתנה ללא מעריך רשום, כמו ‏xx‏?
משתנה ללא מעריך רשום שווה למשתנה בחזקת 1 (‏x=x1x = x^1‏). לכן, ‏x4⋅x=x4⋅x1=x4+1=x5x^4 \cdot x = x^4 \cdot x^1 = x^{4+1} = x^5‏.