Macht van een macht

Beheers de regel voor een macht van een macht ((am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}), macht van een product ((ab)n=anbn(ab)^n = a^n b^n), macht van een quotiënt en gemengde uitdrukkingen met interactieve opgaven.

Macht van een macht

Opgelost: 0

Vereenvoudig de uitdrukking:

(y6)2(y^{6})^{2}
Leeronderwerpen

📖 Leergids

Macht van een macht en machtsregels voor producten en quotiënten

Wanneer een macht of een uitdrukking tussen haakjes tot een macht wordt verheven, pas je de bijbehorende machtsregels toe. Volg deze rekenregels:

1. Macht van een macht: (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Bij het verheffen van een macht tot een macht behoud je het grondtal en vermenigvuldig je de exponenten:
  • Waarom werkt dit zo? (am)(a^m) tot de nn-de macht verheffen betekent ama^m precies nn keer met zichzelf vermenigvuldigen: (am)n=am⋅am⋯am⏟n keer(a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \dotsm a^m}_{n \text{ keer}}. Omdat elke am=a⋅a⋯a⏟m keera^m = \underbrace{a \cdot a \dotsm a}_{m \text{ keer}}, heb je nn groepen van mm factoren, oftewel m⋅nm \cdot n factoren in totaal: a⋅a⋯a⏟m⋅n keer=am⋅n\underbrace{a \cdot a \dotsm a}_{m \cdot n \text{ keer}} = a^{m \cdot n}. Bijvoorbeeld: (x2)3=x2⋅x2⋅x2=(x⋅x)⋅(x⋅x)⋅(x⋅x)=x6(x^2)^3 = x^2 \cdot x^2 \cdot x^2 = (x \cdot x) \cdot (x \cdot x) \cdot (x \cdot x) = x^6.
  • Numeriek voorbeeld: (23)4=23⋅4=212(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}
  • Algebraïsch voorbeeld: (x4)3=x4⋅3=x12(x^4)^3 = x^{4 \cdot 3} = x^{12}
⚠️ Veelgemaakte fout: Verwar (x3)4=x12(x^3)^4 = x^{12} (exponenten vermenigvuldigen) niet met x3⋅x4=x3+4=x7x^3 \cdot x^4 = x^{3+4} = x^7 (exponenten optellen).

2. Macht van een product: (a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n

Wanneer een product tussen haakjes tot een macht wordt verheven, verhef je elke factor (zowel het getal als de variabelen) tot die macht:
  • Met coëfficiënt: (2x3)4=24⋅(x3)4=16x3⋅4=16x12(2x^3)^4 = 2^4 \cdot (x^3)^4 = 16x^{3 \cdot 4} = 16x^{12}
  • Meerdere variabelen: (3a2b4)3=33⋅(a2)3⋅(b4)3=27a6b12(3a^2b^4)^3 = 3^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b^4)^3 = 27a^6b^{12}
⚠️ Let op het getal: Bij (2x)3(2x)^3 moet ook de 22 tot de derde macht: 23⋅x3=8x32^3 \cdot x^3 = 8x^3, niet 2x32x^3.

3. Macht van een quotiënt (breuk): (ab)n=anbn\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

Bij een breuk tot een macht verhef je zowel de teller als de noemer tot die macht (b≠0b \neq 0):
  • Variabele met getal: (x3)3=x333=x327\left(\frac{x}{3}\right)^3 = \frac{x^3}{3^3} = \frac{x^3}{27}
  • Met coëfficiënten en machten: (2x2y3)4=24⋅(x2)4(y3)4=16x8y12\left(\frac{2x^2}{y^3}\right)^4 = \frac{2^4 \cdot (x^2)^4}{(y^3)^4} = \frac{16x^8}{y^{12}}

4. Samengestelde uitdrukkingen vereenvoudigen

Bij het vereenvoudigen van complexe uitdrukkingen met haakjes, vermenigvuldiging en deling:
1. Werk eerst de buitenste machten uit: Werk haakjes weg met (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn} en (ab)n=anbn(ab)^n = a^n b^n.
2. Vermenigvuldig of deel coëfficiënten: Bereken de getallen afzonderlijk.
3. Combineer gelijke grondtallen: Pas am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n} en aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} toe per variabele.
  • Vermenigvuldigen: (x2)3⋅(x4)2=x6⋅x8=x6+8=x14(x^2)^3 \cdot (x^4)^2 = x^6 \cdot x^8 = x^{6+8} = x^{14}
  • Delen: (2x2)34x4=8x64x4=(84)⋅x6−4=2x2\frac{(2x^2)^3}{4x^4} = \frac{8x^6}{4x^4} = \left(\frac{8}{4}\right) \cdot x^{6-4} = 2x^2
Leeronderwerpen

Bescherm je elektronica met SealBags! 🛡️

IP67 waterdichte pouch voor elektronica, ontworpen door een Amerikaanse marinier-veteraan. Duurzaam TPU met waterbestendige rits.

SealBags Pouch kopen op Amazon#ad

Als Amazon-partner ontvang ik een commissie voor in aanmerking komende aankopen.

Veelgestelde Vragen

Waarom vermenigvuldigen we exponenten bij (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}?
Omdat (am)n(a^m)^n betekent dat je ama^m precies nn keer met zichzelf vermenigvuldigt: am⋅am⋯am⏟n keer\underbrace{a^m \cdot a^m \dotsm a^m}_{n \text{ keer}}. Volgens de productregel tel je dan nn keer mm bij elkaar op: m⋅nm \cdot n.
Wat is het verschil tussen (2x)3(2x)^3 en 2x32x^3?
Bij 2x32x^3 hoort de exponent 33 alleen bij xx. Bij (2x)3(2x)^3 zorgen de haakjes ervoor dat het hele product tot de macht 3 gaat: (2x)3=23⋅x3=8x3(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3.
Hoe vereenvoudig je een breuk tot een macht zoals (2xy2)3\left(\frac{2x}{y^2}\right)^3?
Verhef elke factor in de teller en de noemer tot die macht: 23⋅x3(y2)3=8x3y6\frac{2^3 \cdot x^3}{(y^2)^3} = \frac{8x^3}{y^6}.