Potencia de una potencia

Domina la regla de potencia de una potencia ((am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}), potencia de un producto ((ab)n=anbn(ab)^n = a^n b^n), potencia de un cociente y expresiones mixtas mediante práctica interactiva.

Potencia de una potencia

Resueltos: 0

Simplifica la expresión:

(b3)4(b^{3})^{4}
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📖 Guía de Aprendizaje

Reglas de potencia de una potencia, de un producto y de un cociente

Cuando una expresión exponencial o un término entre paréntesis se eleva a una potencia exterior, se aplican las reglas de exponentes correspondientes. Sigue estas reglas clave:

1. Potencia de una potencia: (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Al elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes:
  • ¿Por qué funciona esto? Elevar (am)(a^m) a la potencia nn significa multiplicar ama^m por sí mismo nn veces: (am)n=am⋅am⋯am⏟n veces(a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \dotsm a^m}_{n \text{ veces}}. Dado que cada am=a⋅a⋯a⏟m vecesa^m = \underbrace{a \cdot a \dotsm a}_{m \text{ veces}}, hay nn grupos de mm factores, resultando en m⋅nm \cdot n factores en total: a⋅a⋯a⏟m⋅n veces=am⋅n\underbrace{a \cdot a \dotsm a}_{m \cdot n \text{ veces}} = a^{m \cdot n}. Por ejemplo: (x2)3=x2⋅x2⋅x2=(x⋅x)⋅(x⋅x)⋅(x⋅x)=x6(x^2)^3 = x^2 \cdot x^2 \cdot x^2 = (x \cdot x) \cdot (x \cdot x) \cdot (x \cdot x) = x^6.
  • Ejemplo numérico: (23)4=23⋅4=212(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}
  • Ejemplo algebraico: (x4)3=x4⋅3=x12(x^4)^3 = x^{4 \cdot 3} = x^{12}
⚠️ Error común: No confundas (x3)4=x12(x^3)^4 = x^{12} (se multiplican exponentes) con x3⋅x4=x3+4=x7x^3 \cdot x^4 = x^{3+4} = x^7 (se suman exponentes).

2. Potencia de un producto: (a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n

Al elevar un producto entre paréntesis a una potencia, se eleva cada factor (coeficientes y variables) a esa potencia:
  • Con coeficientes: (2x3)4=24⋅(x3)4=16x3⋅4=16x12(2x^3)^4 = 2^4 \cdot (x^3)^4 = 16x^{3 \cdot 4} = 16x^{12}
  • Varias variables: (3a2b4)3=33⋅(a2)3⋅(b4)3=27a6b12(3a^2b^4)^3 = 3^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b^4)^3 = 27a^6b^{12}
⚠️ Recuerda el coeficiente: En (2x)3(2x)^3, el 22 también se eleva al cubo: 23⋅x3=8x32^3 \cdot x^3 = 8x^3, no 2x32x^3.

3. Potencia de un cociente (fracción): (ab)n=anbn\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

Al elevar una fracción a una potencia, se elevan tanto el numerador como el denominador a esa potencia (b≠0b \neq 0):
  • Variable sobre número: (x3)3=x333=x327\left(\frac{x}{3}\right)^3 = \frac{x^3}{3^3} = \frac{x^3}{27}
  • Con coeficientes y potencias: $\left(\frac{2x^2}{y^3}\right)^4 = \frac{2^4 \cdot (x^2)^4}{(y^3)^4} = \frac{16x^8}{y^{12}}

4. Simplificación de expresiones mixtas combinadas

Para simplificar expresiones complejas que combinan paréntesis, multiplicación y división:
1. Aplica primero las potencias exteriores: Desarrolla los paréntesis con (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn} y (ab)n=anbn(ab)^n = a^n b^n.
2. Multiplica o divide coeficientes: Calcula los números por separado.
3. Combina bases iguales: Aplica am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n} y aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} a cada variable.
  • Multiplicación: (x2)3⋅(x4)2=x6⋅x8=x6+8=x14(x^2)^3 \cdot (x^4)^2 = x^6 \cdot x^8 = x^{6+8} = x^{14}
  • División: (2x2)34x4=8x64x4=(84)⋅x6−4=2x2\frac{(2x^2)^3}{4x^4} = \frac{8x^6}{4x^4} = \left(\frac{8}{4}\right) \cdot x^{6-4} = 2x^2
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Preguntas Frecuentes

¿Por qué se multiplican los exponentes en (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}?
Porque (am)n(a^m)^n significa repetir el factor ama^m exactamente nn veces: am⋅am⋯am⏟n veces\underbrace{a^m \cdot a^m \dotsm a^m}_{n \text{ veces}}. Por la regla del producto, sumas mm un total de nn veces: m⋅nm \cdot n.
¿Cuál es la diferencia entre (2x)3(2x)^3 y 2x32x^3?
En 2x32x^3, el exponente 33 solo afecta a xx. En (2x)3(2x)^3, el paréntesis indica que todo el producto se eleva al cubo: (2x)3=23⋅x3=8x3(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3.
¿Cómo se simplifica una fracción elevada a una potencia como (2xy2)3\left(\frac{2x}{y^2}\right)^3?
Eleva cada factor del numerador y del denominador a esa potencia: 23⋅x3(y2)3=8x3y6\frac{2^3 \cdot x^3}{(y^2)^3} = \frac{8x^3}{y^6}.