חזקה של חזקה

Q: מדוע כופלים מעריכים בחוק חזקה של חזקה $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$?

מכיוון ש-$(a^m)^n$ משמעותו כפל של הביטוי $a^m$ בעצמו $n$ פעמים: $\underbrace{a^m \cdot a^m \dotsm a^m}_{n \text{ פעמים}}$. לפי חוק כפל חזקות מחברים את $m$ בסך הכל $n$ פעמים: $m + m + \dots + m = m \cdot n$.

Q: מה ההבדל בין $(2x)^3$ לבין $2x^3$?

בביטוי $2x^3$, המעריך $3$ שייך רק למשתנה $x$. בביטוי $(2x)^3$, הסוגריים קובעים שכל המכפלה מועלית בחזקה: $(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$.

Q: כיצד מפשטים שבר המועלה בחזקה כמו $\left(\frac{2x}{y^2}\right)^3$?

מעלים בחזקה כל גורם במונה ובמכנה בנפרד: $\frac{2^3 \cdot x^3}{(y^2)^3} = \frac{8x^3}{y^6}$.

שלטו בחוק חזקה של חזקה (‏ $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ ‏), חזקה של מכפלה (‏ $(ab)^n = a^n b^n$ ‏), חזקה של מנה וביטויים משולבים באמצעות תרגול אינטראקטיבי.

חזקה של חזקה

נפתרו: 0

פשטו את הביטוי הבא:

(3x^{2})^{3}

נושאי לימוד

חוקי כפל וחילוק חזקות חזקה של חזקה

📖 מדריך למידה

חוקי חזקה של חזקה, חזקה של מכפלה וחזקה של מנה

כאשר ביטוי מעריכי או ביטוי בסוגריים מועלה בחזקה, יש להפעיל את חוקי החזקות המתאימים. פעלו לפי הכללים הבאים:

1. חוק חזקה של חזקה: ‏ $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ ‏

כאשר מעלים חזקה בחזקה נוספת, שומרים על הבסיס וכופלים את המעריכים:

חוק חזקה של חזקה

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

מדוע זה עובד? העלאת ‏ $(a^m)$ ‏ בחזקת ‏ $n$ ‏ פירושה כפל של ‏ $a^m$ ‏ בעצמו ‏ $n$ ‏ פעמים: ‏ $(a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \dotsm a^m}_{n \text{ פעמים}}$ ‏. מכיוון שכל ‏ $a^m = \underbrace{a \cdot a \dotsm a}_{m \text{ פעמים}}$ ‏, ישנן ‏ $n$ ‏ קבוצות של ‏ $m$ ‏ גורמים, כלומר ‏ $m \cdot n$ ‏ גורמים בסך הכל: ‏ $\underbrace{a \cdot a \dotsm a}_{m \cdot n \text{ פעמים}} = a^{m \cdot n}$ ‏. לדוגמה: ‏ $(x^2)^3 = x^2 \cdot x^2 \cdot x^2 = (x \cdot x) \cdot (x \cdot x) \cdot (x \cdot x) = x^6$ ‏.

דוגמה מספרית: ‏ $(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$ ‏

דוגמה אלגברית: ‏ $(x^4)^3 = x^{4 \cdot 3} = x^{12}$ ‏

⚠️ טעות נפוצה: אל תבלבלו בין ‏

(x^3)^4 = x^{12}

‏ (כפל מעריכים) לבין ‏

x^3 \cdot x^4 = x^{3+4} = x^7

‏ (חיבור מעריכים).

2. חוק חזקה של מכפלה: ‏ $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ ‏

כאשר מכפלה בסוגריים מועלית בחזקה, מעלים בחזקה זו את כל אחד מהגורמים (הן המקדמים המספריים והן המשתנים):

חוק חזקה של מכפלה

(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n

עם מקדם מספרי: ‏ $(2x^3)^4 = 2^4 \cdot (x^3)^4 = 16x^{3 \cdot 4} = 16x^{12}$ ‏

מספר משתנים: ‏ $(3a^2b^4)^3 = 3^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b^4)^3 = 27a^6b^{12}$ ‏

⚠️ שימו לב למקדם: בביטוי ‏

(2x)^3

‏, גם המספר ‏

2

‏ מועלה בחזקה: ‏

2^3 \cdot x^3 = 8x^3

‏, ולא ‏

2x^3

‏.

3. חוק חזקה של מנה (שבר): ‏ $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ ‏

כאשר שבר מועלה בחזקה, מעלים בחזקה זו הן את המונה והן את המכנה (‏

b \neq 0

‏):

חוק חזקה של מנה

\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

משתנה מעל מספר: ‏ $\left(\frac{x}{3}\right)^3 = \frac{x^3}{3^3} = \frac{x^3}{27}$ ‏

עם מקדמים וחזקות: ‏ $\left(\frac{2x^2}{y^3}\right)^4 = \frac{2^4 \cdot (x^2)^4}{(y^3)^4} = \frac{16x^8}{y^{12}}$ ‏

4. פישוט ביטויים משולבים

בפישוט ביטויים המשלבים סוגריים, כפל וחילוק, פעלו לפי סדר הפעולות הבא:

1. הפעילו את החזקות החיצוניות: פשטו כל ביטוי בסוגריים לפי ‏

(a^m)^n = a^{mn}

‏ ו-‏

(ab)^n = a^n b^n

‏.

2. כפלו או חלקו מקדמים מספריים: קבצו וחשבו את המקדמים המספריים בנפרד.

3. שלבו חזקות בעלות בסיסים זהים: השתמשו בחוקי כפל (‏

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

‏) וחילוק (‏

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

‏) עבור כל משתנה.

כפל ביטויים: ‏ $(x^2)^3 \cdot (x^4)^2 = x^6 \cdot x^8 = x^{6+8} = x^{14}$ ‏

חילוק ביטויים: ‏ $\frac{(2x^2)^3}{4x^4} = \frac{8x^6}{4x^4} = \left(\frac{8}{4}\right) \cdot x^{6-4} = 2x^2$ ‏

נושאי לימוד

חוקי כפל וחילוק חזקות חזקה של חזקה

שאלות נפוצות

מדוע כופלים מעריכים בחוק חזקה של חזקה ‏

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

‏?

מכיוון ש-‏

(a^m)^n

‏ משמעותו כפל של הביטוי ‏

a^m

‏ בעצמו ‏

n

‏ פעמים: ‏

\underbrace{a^m \cdot a^m \dotsm a^m}_{n \text{ פעמים}}

‏. לפי חוק כפל חזקות מחברים את ‏

m

‏ בסך הכל ‏

n

‏ פעמים: ‏

m + m + \dots + m = m \cdot n

‏.

מה ההבדל בין ‏

(2x)^3

‏ לבין ‏

2x^3

‏?

בביטוי ‏

2x^3

‏, המעריך ‏

3

‏ שייך רק למשתנה ‏

x

‏. בביטוי ‏

(2x)^3

‏, הסוגריים קובעים שכל המכפלה מועלית בחזקה: ‏

(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3

‏.

כיצד מפשטים שבר המועלה בחזקה כמו ‏

\left(\frac{2x}{y^2}\right)^3

‏?

מעלים בחזקה כל גורם במונה ובמכנה בנפרד: ‏

\frac{2^3 \cdot x^3}{(y^2)^3} = \frac{8x^3}{y^6}

‏.

חזקה של חזקה

📖 מדריך למידה

חוקי חזקה של חזקה, חזקה של מכפלה וחזקה של מנה

1. חוק חזקה של חזקה: ‏(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}(am)n=am⋅n‏

חוק חזקה של חזקה

2. חוק חזקה של מכפלה: ‏(a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n(a⋅b)n=an⋅bn‏

חוק חזקה של מכפלה

3. חוק חזקה של מנה (שבר): ‏(ab)n=anbn\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}(ba​)n=bnan​‏

חוק חזקה של מנה

4. פישוט ביטויים משולבים

הגנו על הציוד שלכם עם SealBags! 🛡️

שאלות נפוצות

1. חוק חזקה של חזקה: ‏ $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ ‏

2. חוק חזקה של מכפלה: ‏ $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ ‏

3. חוק חזקה של מנה (שבר): ‏ $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ ‏